Problema de Olimpiada

Problema: Sea $ \triangle ABC $ un triángulo no degenerado, sea $ \Gamma $ su circuncírculo. Supongamos que las bisectrices por $ A, B , C $ intersectan a $ \Gamma $ en los puntos $ D, E, F $ respectivamente. Sea $ B_1 $ el punto de intersección de $ BE $ con $ DF $ y $ C_1 $ el punto de intersección de $ CF $ con $ DE $ . Demostrar que el punto medio de $ BC $ es el ortocentro de $ \triangle DB_1C_1 $

Por ser bisectrices tenemos $ \angle BAD =\angle DAC, \angle ABE = \angle EBC, \angle ACF = \angle FCB $ Además por ángulos inscritos: $ \angle FEB = \angle FCB , \angle ACF = \angle ADF , \angle CFE = \angle CBE , \angle ABE = \angle ADE $ $ \angle DAC = \angle DFC , \angle BAD = \angle BED $

Notemos que $ \angle B_1FC_1 = \angle B_1EC_1 $ por lo que el $ FEC_1B_1 $ es un cuadrilátero cíclico. De este modo $ \angle B_1EF = \angle B_1C_1F, \angle C_1FE = \angle C_1B_1E $

Sea $ U $ la intersección de $ FD $ con $ BC $, $ W $ la intersección de $ DE $ con $ BC $ , $ K $ el punto medio de $ BC $ , $ T $ la intersección de $ AD $ con $ B_1C_1 $ . Queremos demostrar que $ UW $ es paralela a $ B_1C_1 $ . Para hacer esto vamos a demostrara una semejanza de $ \triangle B_1TD $ con $ \triangle UKD $ . Notemos que $ \angle AKC $ es ángulo externo de $ \angle BKA $ , así que $ \angle BAK + \angle ABK = \angle AKC = \angle UKD $ por ser ángulo opuesto. Por la suma de ángulos en un triángulo $ \angle KUD = 180 – \angle UKD – \angle UDK = \angle FED = \angle B_1UB $ por ser ángulo opuesto, así que $ \angle BB_1U = 180 – \angle B1BU – \angle BUB1 = 90º $ . Así que $ FB_1E = 90 $ por ser opuesto, además $ \angle FB_1E = \angle FC_1E $. Sea $ I $ el incentro de $ \triangle ABC $, notemos que $ \angle AIE $ es ángulo externo de $ \angle BIE $, así que $ \angle BAI + \angle ABI = \angle AIE = \angle B_1IT $ por ser ángulo opuesto, $ \angle ITC_1 $ es ángulo externo de $ \angle ITB_1 $, así que $ \angle TB_1I + \angle TIB1 = \angle ITC_1 = \angle B_1TB $ por ser opuesto. Así que $ \triangle B_1TC \sim \triangle UKD $ por Angulo-Angulo pues comparten $ \angle UDK $ y tienen $ \angle UKD = \angle B_1TD $ . De este modo $ B_1T \parallel UK $ en particular $ B_1C_1 \parallel UW $ . Como $ KD $ es mediatriz tenemos que $ \angle UKD = 90º $ y como $ B_1C_1 $ es paralela entonces $ DK \perp B_1C_1 $ . Con lo que sabemos que $ DK $ es la altura desde $ D $ a $ B_1C_1 $ .

Sea $ R $ el pie de la perpendicular desde $ K $ a $ B_1C_1 $ , si demostramos que $ R, K, C_1 $ son colineales habremos terminado, pues las alturas son concurrentes.

Notemos que $ \angle UKR = 180 – \angle KUR – \angle URK = \angle EBC $. También notemos que $ KC_1CD $ es ciclico pues $ \angle DC_1C = \angle CKD = 90º $ . Además por ángulos inscritos $ \angle EFC = \angle EDC = \angle C_1KC $ por el cíclico, así que $ \angle C_1KW = \angle UKR $. Por lo que $ R, K, C_1 $ están en una línea recta como queríamos probar y por lo tanto $ K $ es el ortocentro $ \blacksquare $